不定积分公式在微积分的进修经过中，不定积分一个重要的基础内容。它与导数相对应，用于求解原函数。掌握常见的不定积分公式，有助于进步解题效率和领会数学本质。下面内容是对常见不定积分公式的划重点，并以表格形式进行展示。
一、基本不定积分公式
| 原函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 说明 | ||
| $ x^n $ | $ \fracx^n+1}}n+1} + C $ (n ≠ -1) | 幂函数的积分 | ||
| $ 1 $ | $ x + C $ | 常数函数的积分 | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | 指数函数的积分 | ||
| $ a^x $ | $ \fraca^x}\ln a} + C $ | 一般指数函数的积分（a > 0, a ≠ 1） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | 正弦函数的积分 | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | 余弦函数的积分 | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ | 正切函数的积分 |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ | 余切函数的积分 |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | 正切平方的积分 | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | 余切平方的积分 |
二、有理函数的积分公式
| 原函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 说明 | ||
| $ \frac1}x} $ | $ \ln | x | + C $ | 倒数函数的积分 |
| $ \frac1}x-a} $ | $ \ln | x – a | + C $ | 线性分母的积分 |
| $ \frac1}x^2 + a^2} $ | $ \frac1}a} \arctan \left( \fracx}a} \right) + C $ | 分母为二次多项式的积分 | ||
| $ \frac1}x^2 – a^2} $ | $ \frac1}2a} \ln \left | \fracx – a}x + a} \right | + C $ | 分母为差平方的积分 |
三、三角函数的积分公式
| 原函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 说明 | ||
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ | 正割函数的积分 |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ | 余割函数的积分 |
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | 正割乘正切的积分 | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ | 余割乘余切的积分 |
四、反三角函数的积分公式
| 原函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 说明 |
| $ \frac1}\sqrt1 – x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ | 反正弦函数的积分 |
| $ \frac1}1 + x^2} $ | $ \arctan x + C $ | 反正切函数的积分 |
| $ \frac1}\sqrtx^2 + 1}} $ | $ \ln(x + \sqrtx^2 + 1}) + C $ | 反双曲函数的积分 |
五、独特函数的积分公式
| 原函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 说明 | ||
| $ \frac1}x \ln x} $ | $ \ln | \ln x | + C $ | 对数函数的积分 |
| $ x e^x $ | $ e^x (x – 1) + C $ | 指数乘多项式的积分（需使用分部积分法） | ||
| $ \ln x $ | $ x \ln x – x + C $ | 对数函数的积分 |
拓展资料
以上是常见的不定积分公式整理，涵盖了基本初等函数、有理函数、三角函数、反三角函数以及部分独特函数的积分表达式。这些公式在实际难题中常用于求解原函数、计算面积、求解微分方程等。掌握这些公式并灵活运用，能够显著提升解题能力。建议结合练习题反复巩固，加深对公式的领会和记忆。
